Teorema de Heron: dedução da fórmula

Boa noite Pessoal,

Queremos mostrar que

é válida para todo os triângulos.

DEDUÇÃO

Para um triângulo qualquer sempre vale a relação para o cálculo da área

(1)

Para determinarmos a área do triângulo acima, devemos fazer h em função dos lados a, b e c. Para isso, usamos a Lei dos Cossenos:

(2)

Para dar sentido a fórmula acima redesenhamos o nosso triângulo qualquer.

Aqui temos que em (2) há o componente angular (cosseno de alfa) que deve ser eliminado por não compor a Fórmula de Heron.

Pela definição de cosseno temos que,

(3)

Só que devemos ter o cosseno em função não de b' mas, sim, de eventualmente h, a, b, c. Deste modo, usando o Teorema de Pitágoras,

(4)

Substituindo (4) em (3) e depois em (2),

Observem que o produto 2bc tem um c divisor, o que o elimina.

Colocamos h ao quadrado em evidência,

Elevamos (1) ao quadrado,

Comparamos (5) com (6),

Observemos que já aqui poderíamos determinar a área de um triângulo qualquer! Temos a área triangular em função dos lados a, b e c. Contudo, temos duas questões: essa forma não é elegante e o nosso objetivo e chegar na Fórmula de Heron!

Neste ponto chamamos a sua atenção para o destaque em vermelho. Temos aqui um PRODUTO NOTÁVEL. Temos o produto da soma pela diferença. Relembrando:

Assim,

Reorganizamos as parcelas no interior dos fatores,

Os destaques em vermelho e verde formam produtos notáveis. Assim,

Como a expressão está muito longa reorganizaremos para caber na área de trabalho do blog,

Em cada fator somaremos zero para não alterar o resultado,

Na primeira linha somaremos (c-c), na segunda (b-b) e na quarta linha (a-a). Assim,

Reorganizando,

Observemos que há uma divisão por 16 e que 16=2.2.2.2. Assim,

Fazendo as 4 divisões por 2,

Fazemos p=(a+b+c)/2. Logo,