Como podemos deduzir a fórmula da Lei dos Cossenos?
Primeiro, visualizamos um triângulo que contenha os valores a, b, c e cosseno de alfa.
Acima temos um triângulo ABC com lados a, b e c e um ângulo alfa oposto ao lado a.
A fórmula da Lei dos Cossenos é usada em problemas de determinação de lados ou de ângulos de triângulos não retângulos.
Para a dedução da fórmula usaremos o Teorema de Pitágoras, produtos notáveis e a relação trigonométrica
(1)Resolução
O primeiro passo é dividirmos o triângulo ABC em dois outros triângulos retângulos. Para isso, traçamos um segmento de reta entre o ponto A que seja perpendicular ao lado b. A este segmento indicamos o seu comprimento com a letra h.
Observemos que o lado b fica dividido em dois segmentos de valores distintos. Assim,
Tiramos as relações do triângulo acima usando o Teorema de Pitágoras. Logo,
Comparando (3) com (4),
(5)
Observemos que temos um produto notável
Comparando (5) com (6),
Comparamos (2) com (7),
Usando a relação (1) determinamos que
Comparando (8) com (9) chegamos em
c.q.d.
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