Teorema de Heron: preâmbulo

Boa noite Pessoal,

Imaginemos nos deparando com problemas similares a este:

(1)

Dados os lados do triângulo acima, 9 cm, 7 cm e 14 cm, calculemos a área do triângulo.

Temos por fórmula clássica

E ai? Como determinar a altura neste caso onde não há um caminho explícito? Nestes casos há a Fórmula de Heron!

A fórmula de Heron é geral para triângulos onde os parâmetros se dão pelos lados e não pelos lados e ângulos (Lei dos Cossenos) , pelos lados com um ângulo reto (Teorema de Pitágoras) ou base vezes altura sobre 2.

Fórmula de Heron

Seja dado um triângulo

Para o cálculo de área vale

Exemplo numérico

Por Heron (1), temos que p = (9 + 7 + 14)/2 = 15. Assim,

Exemplo trivial

Vamos testar num exemplo mais trivial?

Seja dado o triângulo pitagórico de medidas 3 u.c., 4 u. c. e 5 u. c.. Determine sua área.

Fórmula clássica:

Assim, área do triângulo = 3.4/2 = 6 u. a.

Fórmula de Heron:

Mas será que vale para todo triângulo de lados a, b e c?

Vamos provar a fórmula?