Teorema de Heron: dedução da fórmula

Boa noite Pessoal,

Queremos mostrar que

é válida para todo os triângulos.

DEDUÇÃO

Para um triângulo qualquer sempre vale a relação para o cálculo da área

(1)

Para determinarmos a área do triângulo acima, devemos fazer h em função dos lados a, b e c. Para isso, usamos a Lei dos Cossenos:

(2)

Para dar sentido a fórmula acima redesenhamos o nosso triângulo qualquer.

Aqui temos que em (2) há o componente angular (cosseno de alfa) que deve ser eliminado por não compor a Fórmula de Heron.

Pela definição de cosseno temos que,

(3)

Só que devemos ter o cosseno em função não de b' mas, sim, de eventualmente h, a, b, c. Deste modo, usando o Teorema de Pitágoras,

(4)

Substituindo (4) em (3) e depois em (2),

Observem que o produto 2bc tem um c divisor, o que o elimina.

Colocamos h ao quadrado em evidência,

Elevamos (1) ao quadrado,

Comparamos (5) com (6),

Observemos que já aqui poderíamos determinar a área de um triângulo qualquer! Temos a área triangular em função dos lados a, b e c. Contudo, temos duas questões: essa forma não é elegante e o nosso objetivo e chegar na Fórmula de Heron!

Neste ponto chamamos a sua atenção para o destaque em vermelho. Temos aqui um PRODUTO NOTÁVEL. Temos o produto da soma pela diferença. Relembrando:

Assim,

Reorganizamos as parcelas no interior dos fatores,

Os destaques em vermelho e verde formam produtos notáveis. Assim,

Como a expressão está muito longa reorganizaremos para caber na área de trabalho do blog,

Em cada fator somaremos zero para não alterar o resultado,

Na primeira linha somaremos (c-c), na segunda (b-b) e na quarta linha (a-a). Assim,

Reorganizando,

Observemos que há uma divisão por 16 e que 16=2.2.2.2. Assim,

Fazendo as 4 divisões por 2,

Fazemos p=(a+b+c)/2. Logo,

Teorema de Heron: preâmbulo

Boa noite Pessoal,

Imaginemos nos deparando com problemas similares a este:

(1)

Dados os lados do triângulo acima, 9 cm, 7 cm e 14 cm, calculemos a área do triângulo.

Temos por fórmula clássica

E ai? Como determinar a altura neste caso onde não há um caminho explícito? Nestes casos há a Fórmula de Heron!

A fórmula de Heron é geral para triângulos onde os parâmetros se dão pelos lados e não pelos lados e ângulos (Lei dos Cossenos) , pelos lados com um ângulo reto (Teorema de Pitágoras) ou base vezes altura sobre 2.

Fórmula de Heron

Seja dado um triângulo

Para o cálculo de área vale

Exemplo numérico

Por Heron (1), temos que p = (9 + 7 + 14)/2 = 15. Assim,

Exemplo trivial

Vamos testar num exemplo mais trivial?

Seja dado o triângulo pitagórico de medidas 3 u.c., 4 u. c. e 5 u. c.. Determine sua área.

Fórmula clássica:

Assim, área do triângulo = 3.4/2 = 6 u. a.

Fórmula de Heron:

Mas será que vale para todo triângulo de lados a, b e c?

Vamos provar a fórmula?

Inteligência Brasileira: desenvolvimento e avanço. É possível um projeto político em uma nação sem investimento em ensino e pesquisa?

Boa noite,

     Terminei de ler o livro "A Matemática no Brasil - História do seu Desenvolvimento" do Professor Clóvis Pereira da Silva.

     O livro é dividido em 8 capítulos e envereda pela história da ensino e da pesquisa da matemática no ensino superior. Dito desta forma, pode parecer que é uma leitura direcionada apenas para matemáticos e afins, físicos e engenheiros. Não se deixem enganar! O professor Clóvis trata da história da educação no Brasil. A Matemática é descrita no seu livro dentro de um contexto muito maior que é o da educação e das políticas educacionais.

      Confesso que esta obra já me fascinou pela abordagem histórica onde para nos fazer entender o quadro educacional do Brasil de hoje, o autor nos conduz pela Europa num período onde Portugal está sem uma unidade política-administrativa. É no século 13, com a península ibérica ocupada pelos mouros que as cruzadas e a unificação de Castela, Aragão, Navarra e Leão gestam o perfil do Brasil de hoje.

       Um segundo momento muito rico do livro é quando, no Brasil, a educação ganha entornos de universalidade e é dividida em educação e ensino. Falamos da Era Vargas e da inserção do Brasil na modernidade por conta do "crack" americano em 1929. Nossos cafeicultores se vêem sem mercado para escoar a sua produção e, sem vislumbrarem um futuro promissor, investem seus capitais no fomento de uma indústria nacional. Industrializar demanda qualificação de mão de obra.

     Considero uma leitura obrigatória para quem deseja conhecer um pouco mais do o quê é este país!

ENEM 2014: Conversão em Cadeia versus Regra de Três

Boa noite,

No caderno amarelo do ENEM 2014, questão 153 temos,

O objetivo é determinar a máxima velocidade média que é possível imprimir num veículo entre dois radares que distam 2,1 km sem que haja a infração de trânsito.

Resolução

Sabemos que

Transpondo os dados para a fórmula fica

Primeiro passo é pegar o tempo de 1 min e 24 s e passar para apenas uma unidade de tempo. No nosso caso passaremos para segundos. Como 1 min = 60 s, temos que 1 min 24s = 84s.

E agora? Multiplicamos ou dividimos e por que valor? Usamos regra de três?

Proponho usarmos a Regra da Conversão em Cadeia. Essa regra se baseia na propriedade do elemento neutro da multiplicação. Sabemos que 1.a = a para todo a real. logo,

Observe que 3600s = 1h e portanto este quociente é igual a 1 e que a unidade de tempo segundo tem um produto de inversos, por isso, é eliminado do resultado. Continuando,

Portanto, a máxima velocidade média permitida no trecho é de 90 Km/h. Letra C.

Mad Max: Fury Road

Mad Max: Fury Road

TEM SPOILERS!

O filme é simplesmente SENSACIONAL!

Na mitologia do filme o mundo é devastado, pós-apocalíptico e desértico! Há fome, sede e núcleos humanos controlados por um poder militar e religioso! Há uma teocracia onde o líder maior se auto intitula Joe Imortal! Joe é sustentado por três vias: a econômica, a militar e a religiosa! Três são as sociedades controladas por Joe. A Sociedade da Bala, onde os recursos militares são fabricados, a Sociedade da Gasolina, onde o combustível é produzido para alimentar máquinas e motores e o pequeno paraíso de Joe denominada Cidadela! Esta última é a sociedade onde se obtém água de lençóis freáticos. A água é escassa e é totalmente controlada por Joe. Desta forma ele tem poder para submeter os outros líderes. Na Cidadela temos também uma agricultura e uma produção de leite humano para consumo! Nos três núcleos há força militar.

Joe Imortal sustenta o seu poder através das armas, do controle da água e da comida e da manutenção de uma estrutura religiosa e ideológica onde:

1. ele representa uma força transcendental: é auto declarado imortal e

2. o estabelecimento da recompensa transcendental Após a morte seus guerreiros vão para um “local” de prazeres e descanso, Valhalla;

Em relação ao quesito um, há uma contradição evidente. Sendo Joe imortal, ele põe todo o seu poder em xeque tentando reaver seu bem que na Cidadela é protegido em um cofre. Ele tenta reaver as suas “fêmeas” que estão grávidas!

Em relação ao quesito dois temos um retrato caricatural da nossa sociedade atual onde imensos contingentes humanos se submetem a homens que se assumem representantes de forças divinas e estabelecem normas morais. Neste universo real fortunas são criadas (dízimos, contribuições, vassouras ungidas...), famílias são destruídas e poder político é abocanhado numa sociedade em colapso! Tudo isso calcado em promessas!...

A estória se desenvolve em cima das ações da heroína Furiosa (ou Imperatriz Impetuosa, dependendo da tradução). Uma chefa militar que foge da Cidadela levando as “fêmeas” do Joe Imortal! Seu objetivo moral é a redenção! No meio deste processo há muito tiro, sangue, ossos quebrados e explosões! Num dado momento há o insight de que o paraíso redentor não está fora, longe, no passado, mas, sim, no enfrentamento da realidade caótica de onde se partiu em fuga. O paraíso é a própria Cidadela!

E quando ao personagem Mad Max? Participação boa! Contribuiu bastante!...

Fechando, excelente fotografia! O tom sépia, avermelhado dá uma noção de decadência fenomenal! A música incidental amplia em nossos sentidos a ideia de caos e decadência! A mão mecânica da Furiosa é um elemento na construção da sua personalidade! Enquanto Joe se traveste de uma deidade num corpo decrépito, pútrido; Furiosa tem uma superação humana! Ela se supera ao vencer uma adversidade física! E transcende ao seu meio moral ao levar outras almas na sua jornada! Ela poderia simplesmente ir embora sozinha! Mas não! Levou consigo as “fêmeas” do Joe!

Pros que não viram eu RECOMENDO!!!

Lei dos Cossenos. Vamos deduzi-la?

Boa noite,

Como podemos deduzir a fórmula da Lei dos Cossenos?

Primeiro, visualizamos um triângulo que contenha os valores a, b, c e cosseno de alfa.

Acima temos um triângulo ABC com lados a, b e c e um ângulo alfa oposto ao lado a.

A fórmula da Lei dos Cossenos é usada em problemas de determinação de lados ou de ângulos de triângulos não retângulos.

Para a dedução da fórmula usaremos o Teorema de Pitágoras, produtos notáveis e a relação trigonométrica

 (1)

Resolução

O primeiro passo é dividirmos o triângulo ABC em dois outros triângulos retângulos. Para isso, traçamos um segmento de reta entre o ponto A que seja perpendicular ao lado b. A este segmento indicamos o seu comprimento com a letra h.

Observemos que o lado b fica dividido em dois segmentos de valores distintos. Assim,

Tiramos as relações do triângulo acima usando o Teorema de Pitágoras. Logo,

Comparando (3) com (4),

(5)

Observemos que temos um produto notável

Comparando (5) com (6),

Comparamos (2) com (7),

Usando a relação (1) determinamos que

Comparando (8) com (9) chegamos em

c.q.d.