Propriedade das proporções. Prova geral.

Queremos provar que:

Na hipótese temos uma PROPORÇÃO. Isto significa que as frações tem uma RAZÃO comum à todas elas, ou seja, que todas são REDUTÍVEIS a uma fração comum. Assim,

Observemos que q é a RAZÃO.

Desta forma, podemos reescrever cada fração evidenciando sua forma irredutível:

Substituímos (2) no segundo membro da hipótese:

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Observamos que aqui temos um nível de dificuldade superior.

Pertencimento e Cidadania - ou a arte de se fazer uma sociedade retomar ao rumo da civilidade

Hoje, dia 26 de dezembro de 2015, resolvemos minha esposa, minha irmão e eu irmos às compras de mercado. Sábado entre festas com sol esturricando a pele, o que significa que teríamos um mercado livre! Entramos no carro, fui dirigindo. Já no caminho, um motorista de um carro novo, de valor elevado, abre a janela e deposita no espaço público o lixo que fora produzido pelo seu consumo...

Mais a frente, um homem pobre, sem camisa, com um palito entre os dentes, atravessa fora da faixa e se joga em frente ao meu carro sem se dar ao trabalho de verificar se havia segurança em tal atitude...

Chegamos ao mercado. Estacionamento com muitas vagas livres. Dirigi até às vagas reservadas aos deficientes. Quase todas ocupadas por carros sem a identificação devida pela lei!... Na vaga em que me posicionei haviam dois carrinhos de compras sendo descarregados por duas jovens senhoras para o carro de uma delas que estava numa vaga reservada aos PNEs... Carro sem identificação... Senhoras sem deficiência aparente e duas vagas sendo indevidamente ocupadas... Indiquei com a seta que pretendia usar a vaga ocupada pelos carrinhos de compras e as senhoras despreocupadamente continuaram nos seus afazeres ignorando solenemente a presença de uma máquina de mais de uma tonelada a menos de 40 cm distante delas com o a seta pedindo para acessar a vaga ocupada por dois carrinhos de compras... 

Tarefa de abastecimento terminada, a motorista olha para o caminho que teria que passar com o carro. O meu obstruía levemente a passagem... Descobriu a existência do meu carro... Olhando para ele vê o documento do Detran que me franqueia o acesso àquelas vagas... Olha pra os carrinhos vazios, se desculpa e os retira da frente do meu. Com a minha manobra elas seguem seu caminho...

Durante todo o processo eu só disse que não havia problema logo após um seco me desculpe!

Mesmo não sendo eticamente correto feito por qualquer pessoa, uma pessoa miserável cometendo estes pequenos gestos eu sou capaz de compreender! Uma pessoa miserável tem o mundo por inimigo! Não tem acesso a um mínimo de dignidade! Falta para si comida, emprego, saúde, respeito... Falta pertencimento! Falta ser parte de um grupo para dividir crenças, valores, acessos aos bens culturais e materiais... Esta pessoa ignorar e mais, se rebelar contra a ordem social é compreensível, mas e quem tem acesso aos bens materiais e culturais? Viaja, come bem, bebe bem, estuda, bom emprego, boa casa... Que doença é essa que nos faz a todos ver no mundo um inimigo? A ver o mundo como nosso inimigo?

Perdemos a empatia, o senso de dever, os ideais éticos, a dignidade humana!

Na TV vemos um conclamar contínuo ao ódio! Ódio ao estrangeiro, ao negro, ao homossexual, ao nordestino, ao Homem que pensa diferentemente... Não há mais diálogo! Não há mais pertencimento! E os poucos grupos que percebo uma identidade grupal, esta, é forjada na máxima sociológica de ter por inimigo "o outro"!

Nos preocupamos excessivamente com o acumular de bens. Consumimos e consumimos! Nos preocupamos demais com a estética. Uma estética que serve a Moda. Uma moda que mantem um frenético Mercado que consome irresponsavelmente todos os recursos da Terra! Se na ficção sempre será possível escaparmos de uma hecatombe do nosso planeta, na vida real, só temos esta imensa e, ao mesmo tempo minúscula, nave espacial azul!

Caminhamos para duas possibilidades: ou nos extinguiremos pela força do ódio ou destruiremos esse planeta devastando as águas, o ar, a terra e levaremos toda a vida aqui presente conosco!

Parece que estou exagerando? Espero que sim!

O que sei é que devemos fazer um simples exercício de reflexão todos os dias! Devemos buscar uma mudança nas nossas atitudes que sabemos serem ruins para nós, para "o outro" e para a natureza.

Propriedade das proporções. Prova particular.

Resolvemos uma questão do ENEM 2013 onde uma proporção direta foi a ferramenta para a solução do problema. Para visualizar essa postagem clique aqui.

A propriedade que pretendemos demonstrar é:

Onde a, b, c, d pertencem ao inteiros e b, d diferentes de zero.

Inicialmente vamos testar numericamente essa propriedade?

Prova

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Aqui temos um nível de dificuldade médio. Observemos que demonstramos apenas para uma proporção onde temos duas razões a/b e c/d. Uma prova formal e geral deve demonstrar que a relação vale para n razões. Vamos provar? Clique aqui.

Questão de Proporção. ENEM 2013

(ENEM 2013) Para se construir um contrapiso, é comum, na construção do concreto, se utilizar cimento, areia e brita, na seguinte proporção: 1 parte de cimento, 4 partes de areia e 2 partes de brita. Para construir um contrapiso de uma garagem, uma construtora encomendou um caminhão betoneira com 14 metros cúbicos de concreto.

Qual é o volume do cimento, em metros cúbicos, na carga de concreto trazido pela betoneira?

a) 1,75     b) 2,00     c) 2,33     d) 4,00     e) 8,00

Solução:

Uma solução rápida para essa proporção direta é:

Onde 1x corresponde ao cimento, 4x a areia e 2x a brita. Logo, a resposta é a LETRA B.

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Agora pergunto, qual é o sentido desta solução? De que forma mágica aparece esse x?

Essa solução é rápida e não aponta sua origem ou sua lógica. Essa solução é a forma reduzida desta outra:

Como temos uma proporção direta isso significa que se escreve da forma,

Onde x é a constante de proporcionalidade. Usando a propriedade das proporções temos,

Por (1), sabemos que CIMENTO/1 = 2, logo:

CIMENTO = 2. LETRA B.

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Agora, por que somamos CIMENTO, AREIA e BRITA e 1, 2 e 3? como podemos mostrar que essa propriedade das proporções é válida?

Vamos demonstrar a propriedade acima destacada. Clique aqui.

Aqui temos um nível de dificuldade fundamental.

Teorema de Heron: dedução da fórmula

Boa noite Pessoal,

Queremos mostrar que

é válida para todo os triângulos.

DEDUÇÃO

Para um triângulo qualquer sempre vale a relação para o cálculo da área

(1)

Para determinarmos a área do triângulo acima, devemos fazer h em função dos lados a, b e c. Para isso, usamos a Lei dos Cossenos:

(2)

Para dar sentido a fórmula acima redesenhamos o nosso triângulo qualquer.

Aqui temos que em (2) há o componente angular (cosseno de alfa) que deve ser eliminado por não compor a Fórmula de Heron.

Pela definição de cosseno temos que,

(3)

Só que devemos ter o cosseno em função não de b' mas, sim, de eventualmente h, a, b, c. Deste modo, usando o Teorema de Pitágoras,

(4)

Substituindo (4) em (3) e depois em (2),

Observem que o produto 2bc tem um c divisor, o que o elimina.

Colocamos h ao quadrado em evidência,

Elevamos (1) ao quadrado,

Comparamos (5) com (6),

Observemos que já aqui poderíamos determinar a área de um triângulo qualquer! Temos a área triangular em função dos lados a, b e c. Contudo, temos duas questões: essa forma não é elegante e o nosso objetivo e chegar na Fórmula de Heron!

Neste ponto chamamos a sua atenção para o destaque em vermelho. Temos aqui um PRODUTO NOTÁVEL. Temos o produto da soma pela diferença. Relembrando:

Assim,

Reorganizamos as parcelas no interior dos fatores,

Os destaques em vermelho e verde formam produtos notáveis. Assim,

Como a expressão está muito longa reorganizaremos para caber na área de trabalho do blog,

Em cada fator somaremos zero para não alterar o resultado,

Na primeira linha somaremos (c-c), na segunda (b-b) e na quarta linha (a-a). Assim,

Reorganizando,

Observemos que há uma divisão por 16 e que 16=2.2.2.2. Assim,

Fazendo as 4 divisões por 2,

Fazemos p=(a+b+c)/2. Logo,

Teorema de Heron: preâmbulo

Boa noite Pessoal,

Imaginemos nos deparando com problemas similares a este:

(1)

Dados os lados do triângulo acima, 9 cm, 7 cm e 14 cm, calculemos a área do triângulo.

Temos por fórmula clássica

E ai? Como determinar a altura neste caso onde não há um caminho explícito? Nestes casos há a Fórmula de Heron!

A fórmula de Heron é geral para triângulos onde os parâmetros se dão pelos lados e não pelos lados e ângulos (Lei dos Cossenos) , pelos lados com um ângulo reto (Teorema de Pitágoras) ou base vezes altura sobre 2.

Fórmula de Heron

Seja dado um triângulo

Para o cálculo de área vale

Exemplo numérico

Por Heron (1), temos que p = (9 + 7 + 14)/2 = 15. Assim,

Exemplo trivial

Vamos testar num exemplo mais trivial?

Seja dado o triângulo pitagórico de medidas 3 u.c., 4 u. c. e 5 u. c.. Determine sua área.

Fórmula clássica:

Assim, área do triângulo = 3.4/2 = 6 u. a.

Fórmula de Heron:

Mas será que vale para todo triângulo de lados a, b e c?

Vamos provar a fórmula?

Inteligência Brasileira: desenvolvimento e avanço. É possível um projeto político em uma nação sem investimento em ensino e pesquisa?

Boa noite,

     Terminei de ler o livro "A Matemática no Brasil - História do seu Desenvolvimento" do Professor Clóvis Pereira da Silva.

     O livro é dividido em 8 capítulos e envereda pela história da ensino e da pesquisa da matemática no ensino superior. Dito desta forma, pode parecer que é uma leitura direcionada apenas para matemáticos e afins, físicos e engenheiros. Não se deixem enganar! O professor Clóvis trata da história da educação no Brasil. A Matemática é descrita no seu livro dentro de um contexto muito maior que é o da educação e das políticas educacionais.

      Confesso que esta obra já me fascinou pela abordagem histórica onde para nos fazer entender o quadro educacional do Brasil de hoje, o autor nos conduz pela Europa num período onde Portugal está sem uma unidade política-administrativa. É no século 13, com a península ibérica ocupada pelos mouros que as cruzadas e a unificação de Castela, Aragão, Navarra e Leão gestam o perfil do Brasil de hoje.

       Um segundo momento muito rico do livro é quando, no Brasil, a educação ganha entornos de universalidade e é dividida em educação e ensino. Falamos da Era Vargas e da inserção do Brasil na modernidade por conta do "crack" americano em 1929. Nossos cafeicultores se vêem sem mercado para escoar a sua produção e, sem vislumbrarem um futuro promissor, investem seus capitais no fomento de uma indústria nacional. Industrializar demanda qualificação de mão de obra.

     Considero uma leitura obrigatória para quem deseja conhecer um pouco mais do o quê é este país!

ENEM 2014: Conversão em Cadeia versus Regra de Três

Boa noite,

No caderno amarelo do ENEM 2014, questão 153 temos,

O objetivo é determinar a máxima velocidade média que é possível imprimir num veículo entre dois radares que distam 2,1 km sem que haja a infração de trânsito.

Resolução

Sabemos que

Transpondo os dados para a fórmula fica

Primeiro passo é pegar o tempo de 1 min e 24 s e passar para apenas uma unidade de tempo. No nosso caso passaremos para segundos. Como 1 min = 60 s, temos que 1 min 24s = 84s.

E agora? Multiplicamos ou dividimos e por que valor? Usamos regra de três?

Proponho usarmos a Regra da Conversão em Cadeia. Essa regra se baseia na propriedade do elemento neutro da multiplicação. Sabemos que 1.a = a para todo a real. logo,

Observe que 3600s = 1h e portanto este quociente é igual a 1 e que a unidade de tempo segundo tem um produto de inversos, por isso, é eliminado do resultado. Continuando,

Portanto, a máxima velocidade média permitida no trecho é de 90 Km/h. Letra C.

Mad Max: Fury Road

Mad Max: Fury Road

TEM SPOILERS!

O filme é simplesmente SENSACIONAL!

Na mitologia do filme o mundo é devastado, pós-apocalíptico e desértico! Há fome, sede e núcleos humanos controlados por um poder militar e religioso! Há uma teocracia onde o líder maior se auto intitula Joe Imortal! Joe é sustentado por três vias: a econômica, a militar e a religiosa! Três são as sociedades controladas por Joe. A Sociedade da Bala, onde os recursos militares são fabricados, a Sociedade da Gasolina, onde o combustível é produzido para alimentar máquinas e motores e o pequeno paraíso de Joe denominada Cidadela! Esta última é a sociedade onde se obtém água de lençóis freáticos. A água é escassa e é totalmente controlada por Joe. Desta forma ele tem poder para submeter os outros líderes. Na Cidadela temos também uma agricultura e uma produção de leite humano para consumo! Nos três núcleos há força militar.

Joe Imortal sustenta o seu poder através das armas, do controle da água e da comida e da manutenção de uma estrutura religiosa e ideológica onde:

1. ele representa uma força transcendental: é auto declarado imortal e

2. o estabelecimento da recompensa transcendental Após a morte seus guerreiros vão para um “local” de prazeres e descanso, Valhalla;

Em relação ao quesito um, há uma contradição evidente. Sendo Joe imortal, ele põe todo o seu poder em xeque tentando reaver seu bem que na Cidadela é protegido em um cofre. Ele tenta reaver as suas “fêmeas” que estão grávidas!

Em relação ao quesito dois temos um retrato caricatural da nossa sociedade atual onde imensos contingentes humanos se submetem a homens que se assumem representantes de forças divinas e estabelecem normas morais. Neste universo real fortunas são criadas (dízimos, contribuições, vassouras ungidas...), famílias são destruídas e poder político é abocanhado numa sociedade em colapso! Tudo isso calcado em promessas!...

A estória se desenvolve em cima das ações da heroína Furiosa (ou Imperatriz Impetuosa, dependendo da tradução). Uma chefa militar que foge da Cidadela levando as “fêmeas” do Joe Imortal! Seu objetivo moral é a redenção! No meio deste processo há muito tiro, sangue, ossos quebrados e explosões! Num dado momento há o insight de que o paraíso redentor não está fora, longe, no passado, mas, sim, no enfrentamento da realidade caótica de onde se partiu em fuga. O paraíso é a própria Cidadela!

E quando ao personagem Mad Max? Participação boa! Contribuiu bastante!...

Fechando, excelente fotografia! O tom sépia, avermelhado dá uma noção de decadência fenomenal! A música incidental amplia em nossos sentidos a ideia de caos e decadência! A mão mecânica da Furiosa é um elemento na construção da sua personalidade! Enquanto Joe se traveste de uma deidade num corpo decrépito, pútrido; Furiosa tem uma superação humana! Ela se supera ao vencer uma adversidade física! E transcende ao seu meio moral ao levar outras almas na sua jornada! Ela poderia simplesmente ir embora sozinha! Mas não! Levou consigo as “fêmeas” do Joe!

Pros que não viram eu RECOMENDO!!!

Lei dos Cossenos. Vamos deduzi-la?

Boa noite,

Como podemos deduzir a fórmula da Lei dos Cossenos?

Primeiro, visualizamos um triângulo que contenha os valores a, b, c e cosseno de alfa.

Acima temos um triângulo ABC com lados a, b e c e um ângulo alfa oposto ao lado a.

A fórmula da Lei dos Cossenos é usada em problemas de determinação de lados ou de ângulos de triângulos não retângulos.

Para a dedução da fórmula usaremos o Teorema de Pitágoras, produtos notáveis e a relação trigonométrica

 (1)

Resolução

O primeiro passo é dividirmos o triângulo ABC em dois outros triângulos retângulos. Para isso, traçamos um segmento de reta entre o ponto A que seja perpendicular ao lado b. A este segmento indicamos o seu comprimento com a letra h.

Observemos que o lado b fica dividido em dois segmentos de valores distintos. Assim,

Tiramos as relações do triângulo acima usando o Teorema de Pitágoras. Logo,

Comparando (3) com (4),

(5)

Observemos que temos um produto notável

Comparando (5) com (6),

Comparamos (2) com (7),

Usando a relação (1) determinamos que

Comparando (8) com (9) chegamos em

c.q.d.