MMC(A, B) X MDC(A, B) = AB. Vamos provar?

Suponhamos que temos dois naturais quaisquer. Num dado problema calculo o MMC entre eles e preciso determinar o seu MDC. Ou mesmo o inverso, calculo o MDC e preciso saber também o MMC. Como posso fazer sem precisar montar todo um algoritmo?

Vamos pegar um exemplo?

Suponhamos que A = 120 e B = 84 e vamos calcular o MMC(120, 84) e MDC(120, 84).

Para isso, fatoramos ambos os números. Assim,

Logo, MMC(120, 84) é obtido com o produto dos fatores de MAIOR expoente, assim:

E o MDC(120, 84) é obtido com o produto dos fatores de MENOR expoente, assim:

Qual é uma relação que podemos observar entre o MDC(120, 84) e o MMC(120, 84)?

Observemos que:

Comparando (a) com (b) concluímos que 

MMC(120, 84) x MDC(120, 84) = 120x84

Será que esta propriedade é válida para todo número natural?

PROVA

Fatoramos A e B,

Por que posso afirmar que A têm fatores 2, 3, 5, 7, 11, 13... ? Pois se p for zero, isto implica que, o fator fica igual a 1.

Analogamente,

Reorganizando termo a termo (primo a primo)

Logo, o MMC(A, B) será o produto dos fatores de A e B com os MAIORES expoentes. Para isso comparamos pn com qn (para todos os índices fazemos a comparação) e, para facilitar, fazemos

Portanto,

O MDC (A, B) será o produto dos fatores com os MENORES expoentes. Para isso comparamos pn com qn (para todos os índices fazemos a comparação) e, para facilitar, fazemos

Portanto,

Reorganizando termo a termo (primo a primo)