Juros Compostos. De onde vem a fórmula do montante?

Onde,

M: montante;

C: Capital;

i: taxa de juros e

t: tempo.

De onde vem esta fórmula?

Para começarmos devemos entender que

M = C + J (1)

Onde J é o juro. Segundo o dicionário Aurélio online, juro é o "rendimento de dinheiro emprestado", ou seja, juro é o pagamento de um empréstimo de dinheiro ao longo do tempo. Montante seria a soma do capital emprestado com o pagamento deste empréstimo.

O juro é incidente sobre este dinheiro emprestado, ou seja, é incidente sobre o capital. Matematicamente escrevemos

J = i.C (2)

Desta forma, juro é determinável pelo produto do capital vezes a taxa de juro. Este valor, a taxa de juro, é arbitrário e expresso sob a forma de centesimais. Exemplo, 2%. Também expresso como 2/100.

Assim, comparamos (1) com (2) temos,

M = C + i.C

M = C(1 + i) (3)

Vamos pensar um pouco, no momento do empréstimo o juro incidente é zero e a fórmula em (3) fica expressa da seguinte forma:

M = C(1 + 0)

M = C.1

M (0) = C (a)

Onde (0) indica o tempo. Aqui o tempo é zero. Ou de outra forma, montante é igual ao capital. E o porquê disto? Juro é um empréstimo ao longo de um tempo. Sem o fator tempo o juro é igual a zero.

Agora, no primeiro tempo estipulado no empréstimo como fica a fórmula (3)? Para ilustrar melhor suponhamos que o período de tempo seja calculado em meses. E no primeiro mês do empréstimo, como fica a fórmula em (3)?

M (1) = C(1 + i) (b)

E no mês 2, como fica a fórmula em (3)?

No mês dois há um diferencial que deve ser observado. O capital do mês 2 passa a ser o montante do mês 1, assim:

M(2) = M(1) (1 + i)

M(2) = C(1 + i) (1 + i)

E no mês 3, como fica a fórmula em (3)?

O capital do mês 3 passa a ser o montante do mês 2, assim:

E assim sucessivamente. Então, observando (a), (b), (c) e (d), podemos usar a recorrência e criarmos a seguinte tabela:

Dicionário Aurélio online: < http://dicionariodoaurelio.com/juro >.