Determinação por construção polinomial

Boa noite, Pessoal!

A primeira coisa a ser feita para encaminhar a solução deste problema é determinar a função quadrática que contém estes 3 pontos A(-1, 0), B(5, 0) e C(-2, -7).

Para isto podemos usar três abordagens:

a)     Um sistema de equações lineares;

b)     Uma matriz estendida escalonada ou

c)     Determinação por construção polinomial.

Usando polinômios

Como temos as duas raízes da função quadrática, podemos usar polinômios para determinar a família das funções que tem estas raízes na sua composição.

Como montar a família das funções quadráticas que tem raízes comuns?

Usamos,

Como x’ = -1 e x” = 5 fica,

Aqui nos temos uma família de funções. Alfa é o parâmetro que determina a particularidade da função. Exemplo, se alfa for -1:

Se alfa for 1:

Qual é o valor de alfa que buscamos e como determinar a função procurada?

Temos um terceiro ponto que pertence a função procurada. Este ponto é (-2, -7) então,

Desta forma a função procurada é:

Logo, a função procurada é –x² + 4x + 5.

O problema pede que determinemos o máximo desta função. Esse cálculo é possível com

y_v = - Δ/4a (Pergunta, de onde saiu isso?)

y_v = - (b² – 4ac)/4a

y_v = - (4² – 4.(-1).5)/4.(-1)

y_v = (16 + 20)/4

y_v = 36/4

y_v = 9

Portanto, letra B.