MMC(A, B) X MDC(A, B) = AB. Vamos provar?

Suponhamos que temos dois naturais quaisquer. Num dado problema calculo o MMC entre eles e preciso determinar o seu MDC. Ou mesmo o inverso, calculo o MDC e preciso saber também o MMC. Como posso fazer sem precisar montar todo um algoritmo?

Vamos pegar um exemplo?

Suponhamos que A = 120 e B = 84 e vamos calcular o MMC(120, 84) e MDC(120, 84).

Para isso, fatoramos ambos os números. Assim,

Logo, MMC(120, 84) é obtido com o produto dos fatores de MAIOR expoente, assim:

E o MDC(120, 84) é obtido com o produto dos fatores de MENOR expoente, assim:

Qual é uma relação que podemos observar entre o MDC(120, 84) e o MMC(120, 84)?

Observemos que:

Comparando (a) com (b) concluímos que 

MMC(120, 84) x MDC(120, 84) = 120x84

Será que esta propriedade é válida para todo número natural?

PROVA

Fatoramos A e B,

Por que posso afirmar que A têm fatores 2, 3, 5, 7, 11, 13... ? Pois se p for zero, isto implica que, o fator fica igual a 1.

Analogamente,

Reorganizando termo a termo (primo a primo)

Logo, o MMC(A, B) será o produto dos fatores de A e B com os MAIORES expoentes. Para isso comparamos pn com qn (para todos os índices fazemos a comparação) e, para facilitar, fazemos

Portanto,

O MDC (A, B) será o produto dos fatores com os MENORES expoentes. Para isso comparamos pn com qn (para todos os índices fazemos a comparação) e, para facilitar, fazemos

Portanto,

Reorganizando termo a termo (primo a primo)

Determinação por construção polinomial

Boa noite, Pessoal!

A primeira coisa a ser feita para encaminhar a solução deste problema é determinar a função quadrática que contém estes 3 pontos A(-1, 0), B(5, 0) e C(-2, -7).

Para isto podemos usar três abordagens:

a)     Um sistema de equações lineares;

b)     Uma matriz estendida escalonada ou

c)     Determinação por construção polinomial.

Usando polinômios

Como temos as duas raízes da função quadrática, podemos usar polinômios para determinar a família das funções que tem estas raízes na sua composição.

Como montar a família das funções quadráticas que tem raízes comuns?

Usamos,

Como x’ = -1 e x” = 5 fica,

Aqui nos temos uma família de funções. Alfa é o parâmetro que determina a particularidade da função. Exemplo, se alfa for -1:

Se alfa for 1:

Qual é o valor de alfa que buscamos e como determinar a função procurada?

Temos um terceiro ponto que pertence a função procurada. Este ponto é (-2, -7) então,

Desta forma a função procurada é:

Logo, a função procurada é –x² + 4x + 5.

O problema pede que determinemos o máximo desta função. Esse cálculo é possível com

y_v = - Δ/4a (Pergunta, de onde saiu isso?)

y_v = - (b² – 4ac)/4a

y_v = - (4² – 4.(-1).5)/4.(-1)

y_v = (16 + 20)/4

y_v = 36/4

y_v = 9

Portanto, letra B.

Solução da PA e PG - UDESC 2010

O problema consiste em determinarmos q. 

Desenvolvendo a PA

Como a, b e c estão numa sequência de PA então há uma constante r na composição destes números os quais podemos reescrevê-los da seguinte forma:

(1)

Assim, somando a + b + c = (b - r) + b + (b + r) = 3b = 21

Logo,

b = 7

Precisamos agora determinar r.

Passando para a PG

Como temos a sequência {(a + c)/2b; c - a; b + c} em PG então o produto dos extremos é igual ao quadrado do termo médio. Assim,

Comparando (1) com (2):

Como b = 7,

Usando Bhaskara:

Como por hipótese a PA é crescente logo, apenas

r = 2 satisfaz.

Determinando q

Como

Podemos desta forma usar

Que fica

Comparamos (3) com (1)

Como b = 7 e r = 2 temos que

q = (2.7 + 2)/2.2 = 16/4  = 4

Portanto letra D.

Juros Compostos. De onde vem a fórmula do montante?

Onde,

M: montante;

C: Capital;

i: taxa de juros e

t: tempo.

De onde vem esta fórmula?

Para começarmos devemos entender que

M = C + J (1)

Onde J é o juro. Segundo o dicionário Aurélio online, juro é o "rendimento de dinheiro emprestado", ou seja, juro é o pagamento de um empréstimo de dinheiro ao longo do tempo. Montante seria a soma do capital emprestado com o pagamento deste empréstimo.

O juro é incidente sobre este dinheiro emprestado, ou seja, é incidente sobre o capital. Matematicamente escrevemos

J = i.C (2)

Desta forma, juro é determinável pelo produto do capital vezes a taxa de juro. Este valor, a taxa de juro, é arbitrário e expresso sob a forma de centesimais. Exemplo, 2%. Também expresso como 2/100.

Assim, comparamos (1) com (2) temos,

M = C + i.C

M = C(1 + i) (3)

Vamos pensar um pouco, no momento do empréstimo o juro incidente é zero e a fórmula em (3) fica expressa da seguinte forma:

M = C(1 + 0)

M = C.1

M (0) = C (a)

Onde (0) indica o tempo. Aqui o tempo é zero. Ou de outra forma, montante é igual ao capital. E o porquê disto? Juro é um empréstimo ao longo de um tempo. Sem o fator tempo o juro é igual a zero.

Agora, no primeiro tempo estipulado no empréstimo como fica a fórmula (3)? Para ilustrar melhor suponhamos que o período de tempo seja calculado em meses. E no primeiro mês do empréstimo, como fica a fórmula em (3)?

M (1) = C(1 + i) (b)

E no mês 2, como fica a fórmula em (3)?

No mês dois há um diferencial que deve ser observado. O capital do mês 2 passa a ser o montante do mês 1, assim:

M(2) = M(1) (1 + i)

M(2) = C(1 + i) (1 + i)

E no mês 3, como fica a fórmula em (3)?

O capital do mês 3 passa a ser o montante do mês 2, assim:

E assim sucessivamente. Então, observando (a), (b), (c) e (d), podemos usar a recorrência e criarmos a seguinte tabela:

Dicionário Aurélio online: < http://dicionariodoaurelio.com/juro >.

Segunda questão de PA aplicada no pré vestibular Projeto Amor em Educar

Este problema trata-se de uma PA (Progressão Aritmética).

Desta forma valem as seguintes fórmulas gerais:

No nosso problema usaremos ambas as fórmulas pois, como o que pretendemos determinar é a soma dos n termos, devemos encontrar o termo n, ou seja,  an.

São dados do problema:

a₁ = 50,25;

r = a₂ – a₁ = 51,50 - 50,25 = 1,25

n = total de anos de 2012 até 2021 = 10 anos

Desta forma, pela primeira fórmula:

a₁₀ = 50,25 + (10 – 1).1,25 = 50,25 + 9.1,25 = 50,25 + 11,25 = 61,5

Pela segunda fórmula:

S_n = 10(50,25 + 61,50)/2 = 5 . 111,75 = 558,75

Portanto, letra D.

Será que para determinarmos S_n precisamos realmente recorrer diretamente a fórmula de determinação do enésimo termo, ou seja, a_n ?

Objetivamente não! Podemos usar ambas as fórmulas e gerar uma terceira onde os dados iniciais sejam suficientes para a resolução.

Mãos à obra?

Comparando (1) com (2):

Portanto, aplicando os dados iniciais na fórmula (3) chegamos ao resultado de forma mais direta.

Terceira questão de PA aplicado no pré vestibular Projeto Amor em Educar

Este problema trata-se de uma PA (Progressão Aritmética). Desta forma valem as seguintes fórmulas gerais:

No nosso problema usaremos apenas a primeira fórmula.

São dados do problema:

a₁ = 33000;

r = a₂ – a₁ = 34500 – 33000 = 1500

n = total de meses de janeiro até julho = 7 meses

Desta forma,

a₇ = 33000 + (7 – 1).1500 = 33000 + 6.1500 = 33000 + 9000 = 42000

Portanto, letra D.

Teste de Inteligência. Vamos entender os resultados?

Boa noite,

Vamos entender os resultados do post anterior fazendo algumas aplicações?

Para um melhor entendimento estudar o desenvolvimento realizado no post anterior.

O problema proposto teve por motivação uma brincadeira recorrente no facebook.

Segue abaixo:

Concluímos que a função que modela o problema é da forma:

f(x, y) = 101x - 99y (1)

Lembremos que supomos que f(x, y), x e y pertençam ao conjuntos dos números inteiros.

E por fim, estendendo o problema numa exploração das suas possibilidades, concluímos que a forma de determinarmos os valores de x e y para um número k inteiro qualquer se dava a partir de:

(2)

e

(3)

Onde k, t pertencem aos inteiros e,

k é a imagem, ou seja, o número que pretendemos que apareça na operação e

t é o parâmetro de controle.

Vamos fazer uns testes?

Queremos determinar x e y que dão como resultado o número 58.

Por (2):

x = -49.58 = -2842 e y = -50.58 = -2900

Ou seja, (x, y) = (-2842, -2900).

Aplicando em (1):

f(-2842, -2900) = 101. (-2842) - 99.(-2900)

f(-2842, -2900) = -287042 + 287100

f(-2842, -2900) = 58

Portanto,

(-2842) + (-2900) = 58

Será que daria para ser um número

absolutamente menor e positivo?

Para isso, aplicamos (3).

x = -49.58 - 99t e y = -50.58 -101t

x = -2842 - 99t e y = -2900 -101t

Observando as equações acima dou um "chute" e faço t= -30.

x = -2842 - 99(-30) e y = -2900 -101(-30)

x = -2842 + 2970 e y = -2900 + 3030

x = 128 e y = 130

Portanto,

(x, y) = (128, 130)

Aplicamos em (1):

f(128, 130) = 101. 128 - 99.130

f(128, 130) = 12928 - 12870

f(128, 130) = 58

Portanto,

128 + 130 = 58

Um desafio simples para você!

Repita o processo acima fazendo t= -29 e veja o que acontece!

Um abraço!