Teste de Inteligência

Olá Pessoal!

Já há algum tempo que circula pelo facebook um "Teste de Inteligência". Segue abaixo:

E há muitas pessoas que dão muitas respostas diferentes. Uns dizem que a solução é 27. Outros que é 37 e por aí vai. Aproveito o espaço deste blog para tentar lançar uma luz sobre a questão e fazer outras considerações que considero relevantes.

f(6, 4)=6*101 - 4*99 = 210;

f(9, 2)=9*101 - 2*99 = 711;

f(8, 5)=8*101 -5*99 = 313 e

f(5, 2)=5*101 - 2*99 = 307.

Portanto, 5 + 2 = 307.

Observemos que + é uma operação e que é definida pela álgebra f(x, y) = 101x - 99y. E de onde tiramos esta relação? Notem que o primeiro número da centena é a subtração de x por y e que a dezena é a soma de x com y. Assim fica, f(x, y) = 100 * (x - y) + (x + y). Simplificando fica,

f(x, y) = 101x - 99y

E se quisermos determinar um número inteiro

k quanto solução da função?

Determinando o zero.

Não é único e pode ser formado pelo par (0, 0) ou pelo par (99, 101).

Vamos verificar?

f(0, 0) = 101.0 - 99.0 = 0

f(99, 101) = 101.99 - 99.101 = 0

E a unidade?

A unidade existe só que também não é única. Podemos determinar um exemplo, x = -49 e y = -50. f( -49, -50) = -49.101 - (-50).99 = -4949 + 4950 = 1.

Como podemos determinar uma tripla da forma (-49, -50, 1) então podemos mapear todo o conjunto dos inteiros simplesmente fazendo k(-49, -50, 1) = (-49k, -50k, k), onde k é o inteiro que queremos determinar usando apenas inteiros. Um exemplo, k = 27:

f(-49.27, -50.27) = f(-1323, -1350) = -1323.101 - (-1350).99 =

 - 133623 + 133650 = 27!!!

Portanto, (-1323) + (-1350) = 27.

Como determinarmos um procedimento para chegarmos a k?

O exposto acima não explica logicamente como chegamos ao resultado do vetor (-49, -50, 1) e posteriormente (-49k, -50k, k). Para essa determinação usaremos Equações Diofantinas.

Queremos encontrar uma fórmula geral que equacione a equação

101x - 99y = k (1), com k Є Z.

O primeiro passo é determinarmos um caso particular. Para isso fazendo k = 1. E assim fica:

101x – 99y = 1

O MDC(99, 101) = 1.

O passo seguinte é reconstruirmos a equação acima usando o algoritmo da divisão. Logo,

101 = 1.99 + 2 → 2 = 101 – 1.99 (2)

Usamos o resto da primeira divisão como divisor de 99, assim,

99 = 2.49 + 1 (3)

Comparando (2) com (3) teremos,

99 = (101 – 1.99).49 + 1

99 = 49.101 – 49.99 + 1

99 + 49.99 – 49.101 = 1

50.99 – 49.101 = 1 (4)

Como a equação é escrita da forma 101x – 99y = 1 então reescrevemos,

– 49.101 – ( - 50)99 = 1

Como queremos determinar uma solução particular para k basta multiplicarmos (4) por esta constante.

(-49k)101 – ( - 50k)99 = k

Assim,

Desta forma, a solução geral para um k qualquer fica:

Com t Є Z.