Vértice da parábola. De onde tiramos a relação?

Boa noite, Pessoal!

Sabemos que numa função quadrática de representação f(x) = ax² + bx + c , tem por coordenadas do seu vértice o ponto

V(-b/2a, -Δ/4a)

ou numa representação gráfica:

Fica a pergunta, de onde tiramos esta relação?

Observemos que o x do vértice fica exatamente no ponto médio das duas raízes:

Vamos relembrar os valores das raízes?

  

Desta forma, o x do vértice será (x' + x")/2. Vamos fazer as contas?

E assim,

Agora, para determinarmos o y do vértice aplicamos o x do vértice na função f(x) = ax² + bx + c. Que fica:

f(x_v) = a(-b/2a)² + b(-b/2a) + c

f(x_v) = ab²/4a² – b²/2a + c

f(x_v) = b²/4a – b²/2a + c

O MMC (4a, 2a) = 4a e assim,

Como Δ = b² -4ac então,

Portanto,

                            V(-b/2a, -Δ/4a)