SOLUÇÃO USANDO SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES

Boa noite, Pessoal!

A primeira coisa a ser feita para encaminhar a solução deste problema é determinar a função quadrática que contém estes 3 pontos A(-1, 0), B(5, 0) e C(-2, -7).

Para isto podemos usar três abordagens:

a)     Um sistema de equações lineares;

b)     Uma matriz estendida escalonada ou

c)     Determinaçãopor construção polinomial.

Os encaminhamentos em a) e b) tem um caráter mais geral. Já c) só vale pois os pontos A e B serem raízes da função procurada. A solução em c) é mais rápida e mais intuitiva.

Irei resolver a) e b) e deixarei c) para vocês, ok?

SOLUÇÃO USANDO SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES

A função que buscamos tem a seguinte forma f(x) = ax² + bx + c. E, desta forma, temos que determinar os valores de a, b e c.

Pegamos os valores de x e y dos pontos A, B e C e reescrevemos a função f(x).

Para A(-1, 0):

a(-1)² +b(-1) + c = 0 → a – b + c = 0 (1)

Para B(5, 0):

a.5² + 5b + c = 0 → 25a + 5b + c = 0 (2) e

Para C(-2, -7):

a(-2)² + b(-2) + c = -7 → 4a – 2b + c = -7 (3).

Agora temos três equações com três incógnitas em (1), (2) e (3).

Isolamos c nas três equações.

c = -a + b (4)

c = -25a – 5b (5)

c = -4a + 2b -7 (6)

Comparamos (4) com (5) e (4) com (6):

-a + b = -25a – 5b

-a + b = -4a + 2b – 7

Agora temos 2 equações e duas incógnitas.

Isolamos a em ambas as equações.

Primeira equação:

- a + 25a = - 5b – b

24a = - 6b

a = -b/4 (7)

Segunda equação:

- a + 4a = 2b – b – 7

3a = b – 7

a = (b - 7)/3 (8)

Comparamos (7) com (8):

- b/4 = (b - 7)/3

- 3b = 4b – 28

- 3b – 4b = - 28

- 7b = - 28

b = 28/7

b = 4

Voltando para (7):

a = - b/4

a = - 4/4

a = -1

Voltando a (4):

c = -a + b

c = - (- 1) + 4

c = 1 + 4

c = 5

Logo, a função procurada é –x² + 4x + 5.

O problema pede que determinemos o máximo desta função. Esse cálculo é possível com

y_v = - Δ/4a (Pergunta, de onde saiu isso?)

y_v = - (b² – 4ac)/4a

y_v = - (4² – 4.(-1).5)/4.(-1)

y_v = (16 + 20)/4

y_v = 36/4

y_v = 9

Portanto, letra B.