Aproveito a deixa de estar de cama e retomo ao blog. Um tema me chamou a atenção e venho aqui compartilhar com vocês: o algoritmo de Tartaglia - Cardano para a resolução de raízes de equações de terceiro grau!
Andei estudando os números complexos e, ao reler sobre as origens históricas de tais números, redescobri que o motivador de seu desenvolvimento se deu pela resolução das raízes das equações de terceiro grau. Temos um algoritmo histórico desenvolvido pelos matemáticos Tartaglia e Cardano no século XVI que não nos é prático usar hoje já que o algoritmo é muito extenso e demanda muitas etapas de resolução. Hoje, temos calculadoras científicas e programas gratuitos para o computador que facilmente resolvem este tipo de problema.
Só que há um interesse histórico e pedagógico em estudar tal algoritmo. Por exemplo, ao se trabalhar o conteúdo de números complexos, podemos usar o algoritmo de Tartaglia - Cardano como um motivador histórico para justificar e enriquecer uma aula do corpo dos números complexos ou para mostrar a beleza elegante da Fórmula de Bàskara.
Buscando pela internet uma demonstração passo a passo do desenvolvimento do algoritmo, percebi que ou encontramos resoluções incompletas ou resoluções confusas. Resolvi então abrir as contas de forma que possibilite a um estudante acompanhar o raciocínio e entender a construção.
Vamos ao trabalho?
DEDUZINDO A FÓRMULA
Uma equação do terceiro grau é todo polinômio que pode ser escrito da seguinte forma e igualado a zero:
PASSO 1 - Dividimos os dois membros da equação por A.
(1)
Substituímos
A/A = 1,B/A = a ,C/A = b e D/A = c, já que são números e estamos só os
representando de forma que sejam melhor manipulados. Assim,
(2)
Observemos que as raízes em (1) e (2) são idênticas por se tratar da mesma equação.
PASSO 2 - Eliminamos o termo de grau 2. Para isso, fazemos uma substituição da variável X por Y - k, onde k é um número real que precisamos determinar o seu valor de forma que realizemos a eliminação. Substituímos e expandimos a equação.
Reorganizando em termos semelhantes fica,
Determinado o valor de k, reintroduzimos este valor numérico na equação acima que fica da seguinte forma após simplificarmos,
Para manipularmos a equação de forma mais fácil, renomeamos as contantes.
(3)
Aqui era onde queríamos chegar!
Só que ainda não é possível determinar as raízes da equação. Devemos para isso continuar fazendo manipulações algébricas até termos uma identidade que remeta a um algoritmo manipulável.
PASSO 3 - SUBSTITUÍMOS Y POR DOIS VETORES u E v
Fazemos Y = u + v. Para quê? Queremos pegar a fórmula da equação cúbica reduzida (3) e compararmos termo a termo com a última linha de (4),
(4)
Assim,
Das relações acima, concluímos que
Fazendo a organização e a limpeza visual,
Aqui foi a grande sacada! Ao transformarmos Y numa soma de u e v, descobrimos uma relação de soma e produto entre u ao cubo e v ao cubo. Assim, podemos determinar uma das 3 raízes de Y e, consequentemente de X, usando um algoritmo que determine os valores de u e de v. Y = u + v e ao determinarmos u e v determinamos a raiz de X refazendo o processo inverso onde X = Y - B/3A. Confuso? Reveja todos os passos. No passo 1, impomos que X = Y - k. Depois descobrimos que k = -a/3 (a = B/A). Impomos agora que Y = u + v. Ao determinarmos u e v, teremos uma raiz para a equação cúbica!
COMO DETERMINAR u E v ?
Soma e produto de dois números é determinável por Bàskara!
PASSO 4 - Usando Bàskara para determinar u e v.
Uma das propriedades da equação do segundo grau é a que o coeficiente de X que é elevado a primeira potência é o simétrico da soma das raízes e a constante é o produto delas. Visualizando:
Assim, podemos substituir S e P por,
Os valores numéricos de p e q estão em (3). Finalmente, por Bàskara:
Isto implica que,
Aqui chegamos! Ufa! Com esta fórmula podemos determinar uma das três raízes de uma equação do terceiro grau.
Pergunta que não quer calar! COMO USAMOS ESSA FÓRMULA NUM EXEMPLO NUMÉRICO?!
Resposta no próximo post!
Um abraço!
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
